Применения Математического Микроскопа в астрономии и в дистанционных исследованиях

Под Математическим Микроскопом (ММ) мы имеем ввиду методы решения обратных задач для линейных уравнений типа свертки: Y=A X, в котором Аппаратная Функция (изображение) А и изображения X, Y есть элементы линейного пространства Z2, со стандартным скалярным произведением и ограниченными квадратами норм. В астрономии изображение Y это цифровой сигнал с выхода телескопа, А – Диаграмма Направленности (ДН) или Функция Рассеяния Точки, мы будем использовать термин Аппаратная Функция (АФ) А. Обратим внимание: Для Телескопа Горизонта Событий (ТГС), с которого было получено первое изображение Черной Дыры АФ А неизвестна. Известно только то, что апертура ТГС примерно соответствует размеру Земли, т.е. АФ или ДН ТГС – "узкая". Главное неизвестное в ММ уравнении Y=A X — это не Х, а АФ А. Во многих физических измерительных приборах АФ А требуется уточнять. Оценку, уточнение АФ А реализуем согласно Фундаментальному Физическому Принципу (ФФП): в результирующем сверх-разрешенном SR изображении R=inv(A), Х=R Y детектируются точечные – размером в один пиксел объекты. Сейчас можем сказать, что ФФП имеет место не только в астрономии, но и в электронной микроскопии. Особенность ММ: подбирается обратимая АФ А с минимальной реакцией на шум в Y: min||R|| в области определения АФ А. Модуляционно Передаточная Функция (МПФ) МА от АФ А рассчитывается согласно теоремам о МПФ.
Суть ММ в следующем (Теоремы): для обратимой АФ R=inv(A) МПФ R есть М(R)=1/M(A) c обусловленностью DI=1/min|M(A)| с выполнением приближенного равенства min||R||~DI. Обусловленность DI – основной параметр настройки ММ по величинам сверх разрешения 1≤SR ≤ maxSR, можно сказать, что ММ “фокусируется” изменением величины параметра обусловленности DI.

В докладе демонстрируются сверх-разрешённые изображения двух ЧД. Заметим, что апертура комплекса ТГС+ММ с "очень узкой" АФ R A~DK (символ Дельта Кронекера) соответствует апертуре гипотетического радиотелескопа (на длине волны 3 мм) размером с Солнце.
В современных методах решения обратных задач типа методов регуляризации АФ А предполагается известной и требуется искать гладкие решения Х, для нас это все не имеет смысла.
Цель доклада: продемонстрировать преимущества ММ, выйти на новые задачи по радарам с синтезированной апертурой и загоризонтным радаром. Нас, конечно, интересуют и другие обратные задачи в дистанционных исследованиях.
У метода ММ только один недостаток – его очень трудно реализовать: в дороге по ходу минимизации min||R|| приходиться вручную на ноутбуке подбирать 13 параметров (Loc,par) АФ А=A(Loc,par), проверять обратимость изменяемых АФ A, проверять ситуации АФ по обусловленности, обстоятельствам, адекватности и по ФФП детектировать точечные объекты в результирующем изображении Х для прекращения ходов по минимизации min||R||.
Методы MM включены в стандарты Американского Института Физики (AIP, https://pubs.aip.org) в разделе методы обработки сигналов, изображений и четыре наших работы опубликованы в изданиях AIP.