Эффективное распределение значений уровней факторов в планировании эксперимента при ограниченном ресурсе

Тщательное планирование космического эксперимента обусловлено особыми требованиями как по ресурсным ограничениям, так и по ограничениям организационного характера. Возникает двуединая задача оптимизации использования имеющихся ресурсов и информативности предлагаемых процедур. Для исследования сложной системы приходиться использовать упрощенные математические модели экспериментальной установки, основанные на сокращенных описаниях. При этом оставляются не все существующие независимые переменные (факторы), а лишь наиболее значимые, что определяется естественными ограничениями ресурсов, отпущенных на решение задачи. Те же ограничения лимитируют число значений, принимаемых каждым из параметров (число уровней факторов). С другой стороны, число значений уровней определяет богатство репертуара экспериментального исследования. Формализацию постановок такого рода задач можно найти в [1], там же описаны и основные подходы к их решению.
Среди них выделяется метод предложенный в работе В. Хансела [2], основанный на идее назначения числа уровней всем факторам пропорционально их значимости. При этом считается, что произведение чисел уровней всех факторов – заданное ресурсными ограничениями число. Поскольку значимость параметра представляется как произведение его релевантности на энтропию, а энтропия зависит от этого же числа, то сами числа могут определятся как неподвижная точка многомерного отображения. Автором метода рассмотрены зависимости энтропии от числа уровней для случаев трех распределений: нормального, Вейбула и логарифмически-нормального. Безусловным достоинством метода является потенциальная возможность построения итерационного процесса нахождения чисел уровней, а недостатком — его громоздкость и отсутствие каких-либо гарантий его сходимости.
В докладе предлагается модификация указанного метода, позволяющая избавиться от этих недостатков. В ее основе лежит равновероятная дискретизация для выбора уровней факторов, работающая для вероятностных распределений любого вида, и гарантировано обладающая свойством максимальности энтропии (т.е. оптимальная по информационному критерию). Для нее имеется точное выражение для энтропии от числа уровней.
Далее показано как организовать итерационный процесс одномерного поиска значения соответствующего неподвижной точке многомерного отображения. Доказана сходимость итерационного процесса. Полное решение задачи проведено для примера приведенного в докладе.
Основные идеи обсуждаемой процедуры: 1) оптимальный по информационному критерию подход к определению значению уровней факторов, универсальный для всех вероятностных распределений; 2) одномерная параметризация итерационного процесса поиска неподвижной точки многомерного отображения.
Предложенная модификация метода Хансела [2] обладает гарантированной сходимостью, существенно большей простотой реализации и гибкостью перенастройки при уточнении постановки задачи.

1. Мушик Э., Мюллер П. Методы принятия технических решений. М.: Мир, 1990. 208 с.
2. Hansel V. Ein allgemeines Entscheidungskozept zur Bearbeitung mehrzielorientierter Informationsmangelprobleme. Dissertation A. IH Zittau, 1984.