Конвекция в цилиндрической трубе с нелинейным профилем температуры

Рассмотрена аксиально симметричная задача о конвекции в цилиндрической трубе с нелинейным вертикальным профилем температуры. Горизонтальный размер системы считается гораздо меньше вертикального. Вертикальный профиль температуры считается локализованным на некоторой высоте. Такая постановка соответствует задаче о конвекции в смерче, в котором вертикальный профиль температуры всегда ограничен по высоте (локализован на некоторой высоте), а само явление (смерч) имеет вид вертикальной колонны, горизонтальные размеры которой гораздо меньше вертикального размера. Энергетическим источником возникновения неоднородности вертикального градиента температуры в местах интенсивного подъёма влажного воздуха является выделение скрытой теплоты конденсации влажного воздуха. В качестве неоднородности постоянного градиента температуры выбрана симметричная функция (квадрат обратного гиперболического косинуса), для которой можно получить аналитическое решение.
Для точного решения получены низшее собственное значение конвекции и соответствующая собственная функция, а также вертикальная скорость течения в колонне как функция радиуса, вертикальной координаты и времени. Инкремент неустойчивости оказывается пропорциональным квадрату амплитуды вертикальной производной от температуры в колонне, и максимум вертикальной скорости приходится на высоту локализации этой производной от температуры. Получено также приближенное решение той же задачи методом Ритца, в качестве пробной функции выбрано точное (аналитическое) решение. Собственное значение приближенной задачи совпадает с собственным значением задачи в точной постановке.